解线性方程组——上三角、下三角，回代算法

解线性方程组——上三角、下三角，回代算法 | 北太天元

解上三角(回代)

$a_{ii\neq0}$ , $i=1,2,\ldots,n$

$\begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=b_1 \\ a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=b_2 \\ &\cdots \\ a_{nn}x_n&=b_n \end{aligned}$
在这里插入图片描述

北太天元源代码

function [X] = reg_utm(A,b)
% 解上三角方程组 回代算法
% A : 系数矩阵 必须为上三角
% b : 右端常数
% X : 求得的解向量
% 使用要求：A的对角线处元素不为0
%
%   Version:            1.0
%   last modified:      09/09/2023
if  max(ismember(diag(A),0)) == 1
	fprintf('\n Error:使用reg_utm时 对角线上有0元素，不能使用该函数\n\n');
else
    n = length(b);
    X = zeros(n,1);
    X(n) = b(n)/A(n,n);
    for k=n-1:-1:1
        t = A(k,[k+1:n])*X(k+1:n);
        X(k) = (b(k)-t)/A(k,k);
    end
end
end

保存为 reg_utm.m文件

解下三角(前推)

$a_{ii\neq0}$ , $i=1,2,\ldots,n$
$\begin{aligned} &a_{11}x_1&=b_1 \\ &a_{21}x_1+a_{22}x_2&=b_2 \\ &\cdots \\ &a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n&=b_n \end{aligned}$
在这里插入图片描述

北太天元源代码

function [X] = push_ltm(A,b)
% 解下三角方程组    前推算法
% A : 表示系数矩阵 必须为下三角
% b : 表示右端常数
% X : 求得的解向量
% 使用要求：对角线处元素不为0
%
%   Version:            1.0
%   last modified:      05/16/2023
if  max(ismember(diag(A),0)) == 1
	fprintf('*************************\n 对角线上有0元素，不能使用该函数 \n********************   ');
else
    n = length(b);
    X = zeros(n,1);
    X(1) = b(1)/A(1,1);
    for k=2:n
        t = A(k,[1:k-1])*X(1:k-1);
        X(k) = (b(k)-t)/A(k,k);
    end
end

end

保存为push_ltm.m文件

后面会经常用到两个合起来的形式

function [X] = back_substitution_two(L,U,b)
% Ly=b, Ux=y
% b : 列向量
% X : 解向量
%
%   Version:            1.0
%   last modified:      09/25/2023
    y = push_ltm(L,b);
    X = reg_utm(U,y);
end